Question

16．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程是ρcos²θ=sinθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)M（-1，0），直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)．
（1）寫出直線l的極坐標(biāo)方程與曲線C普通方程；
（2）線段MA，MB長度分別記為|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）先求出直線l的普通方程，再求出直線l的極坐標(biāo)方程，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ²cos²θ=ρsinθ，由此能求出曲線C普通方程．
（2）將$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$代入y=x²，能求出|MA|•|MB|的值．

解答 解：（1）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴直線l的普通方程為：x-y+1=0，
∴直線l的極坐標(biāo)方程為：ρcosθ-ρsinθ+1=0，即$\sqrt{2}ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）=-1$，…（3分）
∵曲線C的極坐標(biāo)方程是ρcos²θ=sinθ，∴ρ²cos²θ=ρsinθ，
∴曲線C普通方程為：y=x²…（5分）
（2）將$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$代入y=x²，
得${t^2}-3\sqrt{2}t+2=0$，…8分
∴|MA|•|MB|=|t₁t₂|=2．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線l的極坐標(biāo)方程與曲線C普通方程的求法|，考查|MA|•|MB|的值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式的合理運(yùn)用．