Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{5}{4}$cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx-$\frac{1}{4}$sin²x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）取得最大值時x的集合；
（Ⅱ）設(shè)A、B、C為銳角三角形ABC的三個內(nèi)角，若cosB=$\frac{3}{5}$，f（C）=-$\frac{1}{4}$，求sinA的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的值域求得函數(shù)f（x）取得最大值時x的集合．
（Ⅱ）由條件求得cos（2C+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，C=$\frac{π}{3}$，求出sinB的值，再根據(jù)sinA=sin（B+C）求得它的值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=$\frac{5}{4}$cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx-$\frac{1}{4}$sin²x=cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+$\frac{1}{4}$（cos²x-sin²x ）
=$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{4}$cos2x=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{6}$），
故函數(shù)取得最大值為$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，此時，2x+$\frac{π}{6}$=2kπ時，即x的集合為 {x|x=kπ-$\frac{π}{12}$，k∈Z}．
（Ⅱ）設(shè)A、B、C為銳角三角形ABC的三個內(nèi)角，若cosB=$\frac{3}{5}$，f（C）=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2C+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{4}$，
∴cos（2C+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又A、B、C為銳角三角形ABC的三個內(nèi)角，∴2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
∵cosB=$\frac{3}{5}$，∴sinB=$\frac{4}{5}$，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{4}{5}•\frac{1}{2}$+$\frac{3}{5}•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的值域，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題．