Question

9．已知$f（x）=a•{log_2}（{\sqrt{{x^2}+1}+x}）+\frac{{b•\sqrt{4-{x^2}}}}{{|{x+3}|-3}}+e$（a，b為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底），且f（lg（log_πe））=π，則f（lg（lnπ））=2e-π．

Answer 1

分析 化簡可得0＜lg（lnπ）＜1，lg（log_πe）=-lg（lnπ）；可判斷f（x）-e在（-3，0）∪（0，3）上是奇函數(shù)，從而解得．

解答 解：∵1＜lnπ＜2，
∴0＜lg（lnπ）＜1，
∵lg（log_πe）=-lg（lnπ），
∵當x∈（-3，0）∪（0，3）時，
f（-x）-e=alog₂（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）-$\frac{b\sqrt{4-{x}^{2}}}{x}$
=-alog₂（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-$\frac{b\sqrt{4-{x}^{2}}}{x}$=-（f（x）-e），
∴f（x）-e在（-3，0）∪（0，3）上是奇函數(shù)，
∵f（lg（log_πe））=π，
∴f（lg（log_πe））-e=π-e，
∴f（lg（lnπ））-e=e-π，
即f（lg（lnπ））=2e-π，
故答案為：2e-π．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性的判斷與應(yīng)用，注意構(gòu)造函數(shù)f（x）-e在（-3，0）∪（0，3）上是奇函數(shù)．