Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+lnx，其中a＞0．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線的方程；
（Ⅱ）當(dāng)a≠1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若a∈（0，$\frac{1}{2}$），證明對(duì)任意x₁，x₂∈[$\frac{1}{2}$，1]（x₁≠x₂），$\frac{|f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）|}{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}$＜$\frac{1}{2}$恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a(bǔ)=2代入函數(shù)解析式，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的導(dǎo)數(shù)值，再求出f（1），代入直線方程的點(diǎn)斜式求切線的方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)a的范圍由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)函數(shù)定義域分段，利用導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)判斷原函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅲ）當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]內(nèi)是減函數(shù)，又x₁≠x₂，不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，則f（x₁）＞f（x₂），于是$\frac{{|f（{x_1}）-f（{x_2}）|}}{x_1^2-x_2^2}＜\frac{1}{2}$等價(jià)于$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）＞\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}{{x}_{2}}^{2}$，
即$f（{x}_{1}）-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}＞f（{x}_{2}）-\frac{1}{2}{{x}_{2}}^{2}$．構(gòu)造函數(shù)$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}{x}^{2}=lnx-（a+\frac{1}{a}）x$（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)證明其為減函數(shù)得答案．

解答 （Ⅰ）解：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+lnx$，f′（x）=$x-\frac{5}{2}+\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=$-\frac{1}{2}$，
∵f（1）=$\frac{1}{2}-\frac{5}{2}=-2$．
∴切線方程為：y+2=$-\frac{1}{2}$（x-1），整理得：x+2y+3=0；
（Ⅱ）f′（x）x-$（a+\frac{1}{a}）+\frac{1}{x}$=$\frac{（x-a）（x-\frac{1}{a}）}{x}$（x＞0），
令f′（x）=0，解得：x=a或x=$\frac{1}{a}$．
①若0＜a＜1，$a＜\frac{1}{a}$，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如表：

x	（0，a）	a	（a，$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}，+∞$）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

∴f（x）在區(qū)間（0，a）和（$\frac{1}{a}，+∞$）內(nèi)是增函數(shù)，在（a，$\frac{1}{a}$）內(nèi)是減函數(shù)；
②若a＞1，$\frac{1}{a}＞a$，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如表：

x	（0，$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}，a$）	a	（a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

∴f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{a}$）和（a，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，在（$\frac{1}{a}$，+∞）內(nèi)是減函數(shù)；
（Ⅲ）∵0＜a＜$\frac{1}{2}$，∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]內(nèi)是減函數(shù)，又x₁≠x₂，
不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，則f（x₁）＞f（x₂），${{x}_{1}}^{2}＜{{x}_{2}}^{2}$．
于是$\frac{{|f（{x_1}）-f（{x_2}）|}}{x_1^2-x_2^2}＜\frac{1}{2}$等價(jià)于$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）＞\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}{{x}_{2}}^{2}$，
即$f（{x}_{1}）-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}＞f（{x}_{2}）-\frac{1}{2}{{x}_{2}}^{2}$．
令$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}{x}^{2}=lnx-（a+\frac{1}{a}）x$（x＞0），
∵g′（x）=$\frac{1}{x}-（a+\frac{1}{a}）$在[$\frac{1}{2}$，1]內(nèi)是減函數(shù)，
故g′（x）≤g′（$\frac{1}{2}$）=2-（a+$\frac{1}{a}$）$≤2-2\sqrt{a•\frac{1}{a}}=0$．
從而g（x）在[$\frac{1}{2}$，1]內(nèi)是減函數(shù)，
∴對(duì)任意$\frac{1}{2}＜{x}_{1}＜{x}_{2}＜1$，有g(shù)（x₁）＞g（x₂），即$f（{x}_{1}）-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}＞f（{x}_{2}）-\frac{1}{2}{{x}_{2}}^{2}$，
∴當(dāng)$a∈（0，\frac{1}{2}）$，對(duì)任意${x_1}，{x_2}∈[\frac{1}{2}，1]（{x_1}≠{x_2}）$，$\frac{{|f（{x_1}）-f（{x_2}）|}}{x_1^2-x_2^2}＜\frac{1}{2}$恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，等價(jià)轉(zhuǎn)化是解答（Ⅲ）的關(guān)鍵，屬難題．