Question

2．如圖在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求證：平面AA₁C₁C⊥平面A₁BD
（2）求直線A₁B與平面A₁B₁CD所成的角．

Answer 1

分析 （1）利用正方形與正方體的性質(zhì)可得：BD⊥平面AA₁C₁C，再利用面面垂直的判定定理即可證明；
（2）：連接C₁B，交B₁C于點O，連接A₁O．則BO⊥平面A₁B₁CD，可得∠OA₁B為直線A₁B與平面A₁B₁CD所成的角．利用直角三角形的邊角關系即可得出．

解答 （1）證明：由ABCD是正方形可得：BD⊥AC，
由正方體的性質(zhì)可得：AA₁⊥BD，
而AA₁∩AC=A，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，
而BD?平面A₁BD，
∴：平面AA₁C₁C⊥平面A₁BD．
（2）解：連接C₁B，交B₁C于點O，連接A₁O．
則BO⊥平面A₁B₁CD，
∴∠OA₁B為直線A₁B與平面A₁B₁CD所成的角．
∵sin∠OA₁B=$\frac{OB}{{A}_{1}B}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OA₁B=$\frac{π}{6}$．
∴直線A₁B與平面A₁B₁CD所成的角$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查了空間位置關系、空間角、直角三角形的邊角關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．