Question

2．求函數(shù)f（x）=2cos²x+sin2x，x∈[0，$\frac{π}{2}$]的最小值．

Answer 1

分析 運(yùn)用二倍角公式和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)f（x），再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求得最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=2cos²x+sin2x
=1+cos2x+sin2x
=1+$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x）
=1+$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
可得2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
則當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$，即x=$\frac{π}{2}$時(shí)，
f（x）取得最小值，且為1-$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的求值，主要考查二倍角公式和兩角和的正弦公式的運(yùn)用，同時(shí)考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．