Question

1．若函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-a}$是奇函數(shù)，則使f（x）＞3成立的x的取值范圍為（0，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，便有f（-x）=-f（x），從而可以求出a=1，從而得到$f（x）=1+\frac{2}{{2}^{x}-1}$，容易判斷該函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減，并可判斷x＜0時(shí)，f（x）＜1，且f（1）=3，從而可由f（x）＞3得到f（x）＞f（1），從而便得到0＜x＜1，這便求出了使f（x）＞3成立的x的取值范圍．

解答 解：f（x）為奇函數(shù)；
∴f（-x）=-f（x）；
即$\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-a}=\frac{{2}^{x}+1}{1-a•{2}^{x}}=-\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-a}$；
∴1-a•2^x=a-2^x；
∴a=1；
∴$f（x）=\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}=1+\frac{2}{{2}^{x}-1}$；
①x＞0時(shí)，x增大時(shí)，2^x-1增大，從而f（x）減��；
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
∴由f（x）＞3得，f（x）＞f（1）；
解得0＜x＜1；
②x＜0時(shí)，2^x-1＜0，∴f（x）＜1；
∴不滿足f（x）＞3；
綜上所述，使f（x）＞3的x的取值范圍為（0，1）．
故答案為：（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義，根據(jù)單調(diào)性定義判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)減函數(shù)的定義解不等式的方法．