Question

3．已知函數(shù)g（x）=$\frac{2}{x}$+lnx，f（x）=mx-$\frac{m-2}{x}$-lnx，m∈R．
（1）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的極值；
（2）化簡f（x）-g（x）的表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為m的不等式，通過基本不等式求解最值，即可得到m的取值范圍．

解答 解：（1）∵g′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-2}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0得：x＞2；令g′（x）＜0，得：x＜2，
又因?yàn)間（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
故g（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增
故g（x）_極小值=g（2）=1+ln2，無極大值．
（2）由（1），得f（x）-g（x）=mx-$\frac{m}{x}$-2lnx，
∴（f（x）-g（x））′=$\frac{{mx}^{2}-2x+m}{{x}^{2}}$，
∵f（x）-g（x）在[1，∞）上為單調(diào)函數(shù)，
∴mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0，在[1，∞）恒成立，
mx²-2x+m≥0等價于m（1+x²）≥2x，即m≥$\frac{2x}{1{+x}^{2}}$，
而 $\frac{2x}{1{+x}^{2}}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$，{$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$}max=1∴m≥1．
∴mx²-2x+m≤0等價于m（1+x²）≤2x，
即m≤$\frac{2x}{1{+x}^{2}}$在[1，+∞）恒成立，
而$\frac{2x}{1{+x}^{2}}$∈（0，1]，m≤0．
綜上，m的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．