Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{9x}{1+a{x}^{2}}$（a＞0）．
（1）求f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值；
（2）若直線y=-x+2a為曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）即為$\frac{9}{ax+\frac{1}{x}}$，令t=ax+$\frac{1}{x}$，運用導數(shù)，對a討論，判斷單調(diào)性，求得最小值，即可得到f（x）的最大值；
（2）設出切點為（m，n），求出f（x）的導數(shù)，求出切線的斜率，由已知切線的方程可得am²=2或5，再由切點在切線上和曲線上，滿足它們的方程，解方程即可得到a的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{9x}{1+a{x}^{2}}$=$\frac{9}{ax+\frac{1}{x}}$（a＞0），
令t=ax+$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{2}$≤x≤2），導數(shù)為t′=a-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
當$\sqrt{\frac{1}{a}}$≥2，即0＜a≤$\frac{1}{4}$，t′＜0，函數(shù)t遞減，可得t=2取得最小值2a+$\frac{1}{a}$，
函數(shù)f（x）取得最大值$\frac{9a}{2{a}^{2}+1}$；
當$\frac{1}{2}$≤$\sqrt{\frac{1}{a}}$＜2，即$\frac{1}{4}$＜a≤4，函數(shù)t在（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{\frac{1}{a}}$）遞減，在（$\sqrt{\frac{1}{a}}$，2）遞增，
可得t=$\sqrt{\frac{1}{a}}$取得最小值2$\sqrt{a}$，
函數(shù)f（x）取得最大值$\frac{9\sqrt{a}}{2a}$；
當$\sqrt{\frac{1}{a}}$＜$\frac{1}{2}$，即a＞4，t′＞0，函數(shù)t遞增，可得t=$\frac{1}{2}$取得最小值2+$\frac{1}{2}$a，
函數(shù)f（x）取得最大值$\frac{18}{a+4}$；
（2）設切點為（m，n），則n=$\frac{9m}{1+a{m}^{2}}$，①
函數(shù)f（x）=$\frac{9x}{1+a{x}^{2}}$（a＞0）的導數(shù)為f′（x）=$\frac{9-9a{x}^{2}}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$，
由切線方程y=-x+2a，可得
n=-m+2a，$\frac{9-9a{m}^{2}}{（1+a{m}^{2}）^{2}}$=-1，②
由①②可得，am²=2或5，
當am²=2，可得n=3m=2a-m，即a=2m，解得a=2；
當am²=5，可得n=$\frac{3}{2}$m=2a-m，即a=$\frac{5}{4}$m，解得a=$\frac{5}{4}$$\root{3}{4}$．
故實數(shù)a的值為2或$\frac{5}{4}$$\root{3}{4}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和判斷單調(diào)性、求極值和最值，主要考查導數(shù)的幾何意義和函數(shù)單調(diào)性的運用，設出切點和正確求導是解題的關鍵．