Question

1．已知拋物線C₁：y²=2px（p＞0）的焦點為F，拋物線上的點G（1，m）到焦點的距離為3，橢圓C₂：$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}$=1（m＞n＞0）的一個焦點與拋物線C₁的焦點重合，且離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求拋物線C₁和橢圓C₂的方程；
（2）已知直線l：y=kx-4交橢圓C₂于A、B兩個不同的點，若原點O在以線段AB為直徑的圓的外部，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由拋物線上的點G（1，m）到焦點的距離為3，求拋物線C₁，橢圓C₂的一個焦點與拋物線C₁的焦點重合，且離心率為$\frac{1}{2}$，求橢圓C₂的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理以及判別式大于0，通過原點O在以線段AB為直徑的圓的外部，推出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞0，然后求解k的范圍即可．

解答 解：（1）由題意可知$1+\frac{p}{2}=3$，解得p=4，所以拋物線C₁的方程為：y²=8x．
∴拋物線C₁的焦點F（2，0），
∵橢圓C₂的一個焦點與拋物線C₁的焦點重合，
∴橢圓C₂半焦距c=2，m²-n²=c²=4．
∵橢圓C₂的離心率為$\frac{1}{2}$，∴$\frac{2}{m}=\frac{1}{2}$，解得m=4，$n=2\sqrt{3}$，
∴橢圓C₂的方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx-4\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\end{array}\right.$得（4k²+3）x²-32kx+16=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{32k}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}{x_2}=\frac{16}{{4{k^2}+3}}$，
由△＞0，即（-32k²）-4×16（4k²+3）＞0，解得$k＞\frac{1}{2}$或$k＜-\frac{1}{2}$．①
∵原點O在以線段AB為直徑的圓的外部，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞0$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=（{x_1}，{y_1}）•（{x_2}，{y_2}）$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁-4）（kx₂-4）=（k²+1）x₁x₂-4k（x₁+x₂）+16=$（{k^2}+1）•\frac{16}{{4{k^2}+3}}-4k•\frac{32k}{{4{k^2}+3}}+16$=$\frac{{16（4-3{k^2}）}}{{4{k^2}+3}}＞0$，
解得$-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}＜k＜\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．②
由①②解得實數(shù)k的范圍是$-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}＜k＜-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}＜k＜\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．