Question

20．積分${∫}_{3}^{4}$lnxdx和${∫}_{3}^{4}$ln²xdx的大小關(guān)系是${∫}_{3}^{4}$lnxdx＜${∫}_{3}^{4}$ln²xdx．

Answer 1

分析 先構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ln²x，由于當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，有f（x）＜g（x）在x∈[3，4]恒成立，所以可以得出${∫}_{3}^{4}$lnxdx＜${∫}_{3}^{4}$ln²xdx．

解答 解：設(shè)f（x）=lnx，g（x）=ln²x，
當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，lnx≥ln3＞lne=1，
因此，ln²x＞lnx在x∈[3，4]恒成立，
即f（x）＜g（x）在x∈[3，4]恒成立，
根據(jù)定積分的以及意義可知，
${∫}_{3}^{4}$f（x）dx＜${∫}_{3}^{4}$g（x）dx，
即${∫}_{3}^{4}$lnxdx＜${∫}_{3}^{4}$ln²xdx，
故答案為：${∫}_{3}^{4}$lnxdx＜${∫}_{3}^{4}$ln²xdx．

點(diǎn)評 本題主要考查了定積分及其運(yùn)算，涉及定積分的幾何意義和大小關(guān)系的比較，屬于中檔題．