Question

12．AB是圓O的直徑，點C，D在圓上，且AB=4，∠AOC=∠A0D=120°，點E，F(xiàn)分別在線段上，且$\overrightarrow{OE}$=λ$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OF}$=2λ$\overrightarrow{OD}$，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$的最大值為（　�。�

• A． -$\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． -$\frac{15}{4}$
• D． $\frac{15}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)圓O的方程為x²+y²=4，A（2，0），B（-2，0），C（-1，$\sqrt{3}$），D（-1，-$\sqrt{3}$），由條件可得E，F(xiàn)的坐標(biāo)，求得向量AE，BF的坐標(biāo)，運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二次函數(shù)的最值的求法，即可得到所求最大值．

解答 解：如圖設(shè)圓O的方程為x²+y²=4，
A（2，0），B（-2，0），C（-1，$\sqrt{3}$），D（-1，-$\sqrt{3}$），
由$\overrightarrow{OE}$=λ$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OF}$=2λ$\overrightarrow{OD}$，可得
E（-λ，$\sqrt{3}$λ），F(xiàn)（-2λ，-2$\sqrt{3}$λ），
則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$=（-λ-2，$\sqrt{3}$λ）•（-2λ+2，-2$\sqrt{3}$λ），
=（λ+2）（2λ-2）-6λ²=-4λ²+2λ-4
=-4（λ-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{15}{4}$，
由0≤λ≤1，且0≤2λ≤1，
可得0≤λ≤$\frac{1}{2}$，
當(dāng)λ=$\frac{1}{4}$時，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$的最大值為-$\frac{15}{4}$．
故選C．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的最大值的求法，注意運用坐標(biāo)法，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．