Question

【題目】已知a∈R，若f（x）=（x+ ）ex在區(qū)間（0，1）上只有一個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍為（ ）
A.a＞0
B.a≤1
C.a＞1
D.a≤0

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）=（x+ ）ex ， ∴f′（x）=（ ）ex ，
設(shè)h（x）=x3+x2+ax﹣a，
∴h′（x）=3x2+2x+a，
a＞0，h′（x）＞0在（0，1）上恒成立，即函數(shù)h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
∵h(yuǎn)（0）=﹣a＜0，h（1）=2＞0，
∴h（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x0 ， 使得f′（x0）=0，
且在（0，x0）上，f′（x）＜0，在（x0 ， 1）上，f′（x）＞0，
∴x0為函數(shù)f（x）在（0，1）上唯一的極小值點(diǎn)；
a=0時(shí)，x∈（0，1），h′（x）=3x2+2x＞0成立，函數(shù)h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
此時(shí)h（0）=0，∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，
即f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，1）上為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)f（x）在（0，1）上無(wú)極值；
a＜0時(shí)，h（x）=x3+x2+a（x﹣1），
∵x∈（0，1），∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，
即f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，1）上為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)f（x）在（0，1）上無(wú)極值．
綜上所述，a＞0．
故選：A．
求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用極值、函數(shù)單調(diào)性，即可確定a的取值范圍．