Question

12．在如圖所示的四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E為PB的中點．
（Ⅰ）求證：PD∥平面ACE；
（Ⅱ）求證：PC⊥AE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD交AC與O，連接EO，可得OE∥PD，又OE?平面ACE，PD?平面ACE，即可判定PD∥平面ACE．
（Ⅱ）先證明PA⊥BC，CB⊥AB，可得CB⊥平面PAB，可得CB⊥AE，又AE⊥PB，即可證明AE⊥平面PBC，從而可證PC⊥AE．

解答 （本題滿分為12分）證明：（Ⅰ）連接BD交AC與O，連接EO，
∵E，O分別為BP，BD的中點，
∴OE∥PD，
又∵OE?平面ACE，PD?平面ACE，
∴PD∥平面ACE．…4分
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，…6分
又∵底面ABCD是矩形，
∴CB⊥AB，
∵PA∩AB=A，
∴CB⊥平面PAB，…8分
又∵AE?平面PAB，
∴CB⊥AE，
又∵PA=AB，E為PB的中點，
∴AE⊥PB，…10分
∵PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC，
又∵PC?平面PBC，
∴PC⊥AE．…12分

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定和性質，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．