Question

16．已知圓x²+y²=4，過(guò)點(diǎn)A（4，0）作圓的割線ABC，則弦BC中點(diǎn)的軌跡方程為（　�。�

• A． （x-1）²+y²=4  （-1≤x＜$\frac{1}{2}$）
• B． （x-1）²+y²=4�。�0≤x＜1）
• C． （x-2）²+y²=4  （-1≤x＜$\frac{1}{2}$）
• D． （x-2）²+y²=4�。�0≤x＜1）

Answer 1

分析 設(shè)弦BC中點(diǎn)（x，y），過(guò)A的直線的斜率為k，求得割線ABC的方程．再由弦的中點(diǎn)與圓心連線與割線ABC垂直可得垂線的方程．再根據(jù)弦的中點(diǎn)是這兩條直線的交點(diǎn)，求出弦的中點(diǎn)的軌跡方程．

解答 解：設(shè)弦BC中點(diǎn)（x，y），過(guò)A的直線的斜率為k，
割線ABC的方程：y=k（x-4）；
作圓的割線ABC，所以中點(diǎn)與圓心連線與割線ABC垂直，方程為：x+ky=0；
因?yàn)榻稽c(diǎn)就是弦的中點(diǎn)，它在這兩條直線上，故弦BC中點(diǎn)的軌跡方程
是：x²+y²-4x=0（已知圓內(nèi)部分）
即（x-2）²+y²=4（0≤x＜1）
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查形式數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，軌跡方程，直線與圓的方程的應(yīng)用，中檔題．