Question

20．已知直線l與圓C：x²+y²+2x-4y+a=0相交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為M（0，1）．
（1）若圓C的半徑為$\sqrt{3}$，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若弦AB的長為4，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）求直線l的方程及實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用配方法得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)圓C的半徑為$\sqrt{3}$，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求出直線l的方程，求出圓心到直線的距離，根據(jù)弦AB的長為4，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）²+（y-2）²=5-a，
則圓心C（-1，2），半徑r=$\sqrt{5-a}$，
∵圓C的半徑為$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{5-a}$=$\sqrt{3}$，
∴a=2；
（2）∵弦的中點(diǎn)為M（0，1）．
∴直線CM的斜率k=-1，
則直線l的斜率k=1，
則直線l的方程為y-1=x，即x-y+1=0．
圓心C到直線x-y+1=0的距離d=$\frac{|-1-2+1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
若弦AB的長為4，則2+4=5-a=6，
解得a=-1；
（3）由（2）可得直線l的方程為x-y+1=0．
∵弦AB的中點(diǎn)為M（0，1）．
∴點(diǎn)M在圓內(nèi)部，即$\sqrt{{1}^{2}+（1-2）^{2}}$＜$\sqrt{5-a}$，
∴5-a＞2，即a＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的方程的應(yīng)用，利用配方法將圓配成標(biāo)準(zhǔn)方程是解決本題的關(guān)鍵．