Question

14．華師一“長飛班”由m位同學(xué)組成，學(xué)校專門安排n位老師作為指導(dǎo)老師，在該班級的一次活動中，每兩位同學(xué)之間相互向?qū)Ψ教嵋粋�問題，每位同學(xué)又向每位指導(dǎo)老師各提出一個問題，并且每位指導(dǎo)老師也向全班提出一個問題，以上所有問題互不相同，這樣共提出了51個問題，則m+n=9．

Answer 1

分析 首先得出m（m-1）+mn+n=51，進(jìn)而分析得出△=（n-3）²+196，利用題意可得△必為完全平方數(shù)，則得出n-3+k與n-3-k可能的值，求出即可．

解答 解：由題意得m（m-1）+mn+n=51，
化簡得：m²+（n-1）m+n-51=0，
故△=（n-1）²-4（n-51）=n²-6n+205=（n-3）²+196，
∵m∈N^*，
∴△必為完全平方數(shù)，
設(shè)（n-3）²+196=k²（k為自然數(shù)），則（n-3+k）（n-3-k）=-196，
其中n-3+k與n-3-k具有相同的奇偶性，且n-3+k≥n-3-k，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n-3+k=2}\\{n-3-k=-98}\end{array}\right.$（1）或$\left\{\begin{array}{l}{n-3+k=98}\\{n-3-k=-2}\end{array}\right.$（2）或$\left\{\begin{array}{l}{n-3+k=14}\\{n-3-k=-14}\end{array}\right.$（3），
由（1）得：n=-45（舍），
由（2）得：n=51，此時原方程為m²+50m=0，解得m₁=-50，m₂=0（舍），
由（3）得n=3，此時原方程為m²+2m-48=0，解得m₁=6，m₂=-8（舍），
∴m=6，n=3．
∴m+n=9，
故答案為：9．

點評 此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及其解法，得出n-3+k與n-3-k可能的值是解題關(guān)鍵．