Question

6．已知f（x）=|x+1|
（1）解不等式f（x+3）-f（x-1）≥2；
（2）若m＞0，不等式2m-3≥f（mx）-mf（x）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由零點分區(qū)間的方法，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x+4-x≥2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜-4}\\{-x-4+x≥2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-4≤x≤0}\\{x+4+x≥2}\end{array}\right.$，解不等式組，求并集即可得到所求解集；
（2）由題意可得2m-3≥m（|x+$\frac{1}{m}$|-|x+1|），再由絕對值不等式的性質(zhì)，可得||x+$\frac{1}{m}$|-|x+1||≤|x+$\frac{1}{m}$-x-1|=|$\frac{1}{m}$-1|，再由絕對值不等式的解法，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）不等式f（x+3）-f（x-1）≥2，
即為|x+4|-|x|≥2，
即有$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x+4-x≥2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜-4}\\{-x-4+x≥2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-4≤x≤0}\\{x+4+x≥2}\end{array}\right.$，
即有x＞0或x∈∅或-1≤x≤0，
解得x≥-1，
則原不等式的解集為[-1，+∞）；
（2）若m＞0，不等式2m-3≥f（mx）-mf（x）恒成立，
即為2m-3≥|mx+1|-m|x+1|，
即有2m-3≥m（|x+$\frac{1}{m}$|-|x+1|），
由||x+$\frac{1}{m}$|-|x+1||≤|x+$\frac{1}{m}$-x-1|=|$\frac{1}{m}$-1|，當(dāng)且僅當(dāng)（x+$\frac{1}{m}$）（x+1）≥0，取得等號．
則2m-3≥m|$\frac{1}{m}$-1|=|1-m|，即有3-2m≤m-1≤2m-3，
解得m≥2．
則m的取值范圍是[2，+∞）．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，注意運用零點分區(qū)間的方法，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和絕對值不等式的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．