Question

7．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并用你學(xué)過的數(shù)學(xué)方法證明．

Answer 1

分析 （1）a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$（n∈N^*）．分別令n=1，2，3即可得出；
（2）猜想a_n=$\frac{1}{2n-1}$．以下給出證明：${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$，兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$（n∈N^*）．
∴a₂=$\frac{{a}_{1}}{1+2{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，同理可得a₃=$\frac{1}{5}$，a₄=$\frac{1}{7}$．
（2）猜想a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
以下給出證明：${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$，兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1．
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．