Question

9．函數(shù)f（x）=x²-ax+a（x∈R），數(shù)列$\{a_n^{\;}\}$的前n項(xiàng)和S_n=f（n），且f（x）同時(shí)滿足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個(gè)元素；②在定義域內(nèi)存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；     
（2）求數(shù)列$\{a_n^{\;}\}$的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）由①可得判別式為0，解得a=0或4，討論a=0和4，結(jié)合條件②，可得f（x）的解析式；
（2）求得S_n=（n-2）²，由n=1時(shí)，a₁=S₁，n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得到所求數(shù)列的通項(xiàng)．

解答 解：（1）不等式f（x）≤0的解集有且只有一個(gè)元素，
可得△=a²-4a=0，則a=0或a=4，
當(dāng)a=0，f（x）=x²在（0，+∞）上是單調(diào)遞增的，不符合題目要求舍去；
當(dāng)a=4，f（x）=x²-4x+4在（0，2）上是單調(diào)遞減（2，+∞）單調(diào)增的，符合題意．
所以a=4，f（x）=x²-4x+4；
（2）${S_n}=f（n）={n^2}-4n+4={（n-2）^2}$，
n=1時(shí)，a₁=S₁=1，
$n≥2時(shí)，{a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={（n-2）^2}-{（n-3）^2}=2n-5$．
所以${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2n-5，n≥2}\end{array}}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查二次不等式的解法和函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意n=1時(shí)的情況，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．