Question

17．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，G，M，N分別是B₁C₁，A₁D₁，A₁B₁，BD，B₁C的中點(diǎn)，求證：
（1）MN∥平面CDD₁C₁．
（2）平面EBD∥平面FGA．

Answer 1

分析 （1）連接BC₁，DC₁，由已知推導(dǎo)出MN$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DC₁，由此能證明MN∥平面CDD₁C₁．
（2）連接EF，B₁D₁，推導(dǎo)出四邊形ABEF為平行四邊形，從而AF∥BE，由題意FG∥BD，由此能證明平面EBD∥平面FGA．

解答 證明：（1）連接BC₁，DC₁，
∵四邊形BCC₁B₁為正方形，N為B₁C的中點(diǎn)，
∴N在BC₁上，且N為BC₁的中點(diǎn)．
又∵M(jìn)為BD的中點(diǎn)，∴MN$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DC₁．
又MN?平面CDD₁C₁，DC₁?平面CDD₁C₁，
∴MN∥平面CDD₁C₁．（6分）
（2）連接EF，B₁D₁，則EF$\underset{∥}{=}$AB．
∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴AF∥BE．
又由題意知FG∥B₁D₁，B₁D₁∥BD，∴FG∥BD．
又∵AF∩FG=F，BE∩BD=B，
∴平面EBD∥平面FGA．（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面平行、面面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．