Question

18．已知函數(shù)f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c
（1）當c=1時，求y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）若當x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把c=1代入函數(shù)解析式，求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到f′（0），然后由直線方程的點斜式得答案；
（2）求出函數(shù)f（x）在x∈[-1，2]上的最大值，由最大值小于c²求得使不等式f（x）＜c²恒成立的c的取值范圍．

解答 解：（1）當c=1時，f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+1，
則f′（x）=3x²-x-2，
∴在（0，1）處的切線斜率為f′（0）=-2，
故切線方程是：y-1=-2（x-0），即2x+y-1=0；
（2）f′（x）=3x²-x-2=（x-1）（3x+2），
∴當x∈（-∞，-$\frac{2}{3}$），（1，+∞）時，f′（x）＞0，
當x∈（-$\frac{2}{3}，1$）時，f′（x）＜0，
∴當x=-$\frac{2}{3}$時，f（x）有極大值$\frac{22}{27}+c$，
又f（2）=2+c$＞\frac{22}{27}+c$，
∴當x∈[-1，2]時，f（x）的最大值為f（2）=2+c，
∵對于x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，
∴2+c＜c²，解得c＜-1或c＞2．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，訓練了恒成立問題的解決方法，是中檔題．