Question

13．設(shè)f（x）=|x-a|+2x，其中a＞0．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）＜x+3的解集．
（2）若x∈（-2，+∞）時(shí)，恒有f（x）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時(shí)，由原不等式可得|x-2|＜-x+3，從而得到x-3＜x-2＜-x+3，解該不等式便可得出原不等式的解集；
（2）由條件可知x∈（-2，+∞）時(shí)，|x-a|＞-2x恒成立，從而可以得到a＜3x或a＞-x對(duì)任意的x∈（-2，+∞）恒成立，這樣即可得到a≤-6，或a≥2，即得出了a的取值范圍．

解答 解：（1）a=2時(shí)，f（x）=|x-2|+2x；
由f（x）＜x+3得，|x-2|+2x＜x+3；
∴|x-2|＜-x+3；
∴x-3＜x-2＜-x+3；
解得$x＜\frac{5}{2}$；
∴原不等式的解集為$（-∞，\frac{5}{2}）$；
（2）根據(jù)題意，x∈（-2，+∞）時(shí)，|x-a|＞-2x恒成立；
即x-a＞-2x，或x-a＜2x恒成立；
∴a＜3x，或a＞-x對(duì)任意x∈（-2，+∞）恒成立；
∴a≤-6，或a≥2；
∴a的取值范圍為（-∞，-6]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查絕對(duì)值不等式|x|≥a和|x|≤a的解法，不等式|f（x）|≥g（x）和|f（x）|≤g（x）的解法，以及根據(jù)不等式恒成立求函數(shù)中參數(shù)范圍的方法．