Question

5．已知x為銳角，求函數(shù)y=$\frac{6\sqrt{3}}{sinx}+\frac{2}{cosx}$的最小值．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)y的單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)區(qū)間求得函數(shù)的極值點(diǎn)，從而求得函數(shù)的最小值．

解答 解：∵x為銳角，∴sinx＞0，cosx＞0，y=$\frac{6\sqrt{3}}{sinx}+\frac{2}{cosx}$＞0．
∵y′=$\frac{0-6\sqrt{3}cosx}{{sin}^{2}x}$+$\frac{0-（-2sinx）}{{cos}^{2}x}$=$\frac{2{•sin}^{3}x-6\sqrt{3}{•cos}^{3}x}{{sin}^{2}x{•cos}^{2}x}$，
令y′=0，求得tanx=$\sqrt{3}$，x=$\frac{π}{3}$．
當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{3}$）時(shí)，tanx＜$\sqrt{3}$，y′＜0，y為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）時(shí)，tanx＞$\sqrt{3}$，y′＞0，y為增函數(shù)，
故當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)y取得最小值為$\frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$+$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=16，
故答案為：16．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．