Question

12．已知在△ABC中，點A（-1，0），B（1，0），C為動點，記角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且abcos²$\frac{C}{2}$=1．
（1）求證：動點C在曲線E：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1上；
（2）設點O為坐標原點，過點B作直線l與曲線E交于M，N兩點，若OM⊥ON，試求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由abcos²$\frac{C}{2}$=1，利用倍角公式與余弦定理，及其c=2，化為a+b=2$\sqrt{2}$＞2，即可證明．
（2）設直線l的方程為：my=x-1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與橢圓方程聯立化為（2+m²）y²+2my-1=0，由OM⊥ON，可得x₁x₂+y₁y₂=0，把根與系數的關系代入化簡解出即可．

解答 （1）證明：∵abcos²$\frac{C}{2}$=1，∴$ab•\frac{cosC+1}{2}=1$，∴$ab（\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}+1）$=2，c=2，化為a+b=2$\sqrt{2}$＞2．
∴動點C在以點A（-1，0），B（1，0）為焦點，2$\sqrt{2}$為長軸長的橢圓上．
∴動點C在曲線E：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1上．
（2）解：設直線l的方程為：my=x-1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化為（2+m²）y²+2my-1=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-2m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-1}{2+{m}^{2}}$．
∵OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（my₁+1）（my₂+1）+y₁y₂=0，
化為（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=0，
∴$\frac{-（{m}^{2}+1）}{2+{m}^{2}}$-$\frac{2{m}^{2}}{{m}^{2}+2}$+1=0，
化為：m²=$\frac{1}{2}$，
解得m=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直線l的方程為：$\sqrt{2}x±y-\sqrt{2}$=0．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、余弦定理、倍角公式、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的該協(xié)議書的關系、直線方程、向量垂直與數量積的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．