20.如圖,拋物線y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c與直線y=-2x-4交y軸于點A,交x軸于點B,拋物線與x軸的另一個交點為C,O為坐標原點
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線上是否存在點P,使A,B,C,P四點構(gòu)成平行四邊形?存在,請求出P點坐標;若不存在,請說明理由;(3)若點M在y軸上,且∠ACB=∠OAB+∠OMB,請求出M點坐標.

分析 (1)求出A,B坐標,代入拋物線方程解出b,c;
(2)假設(shè)存在符合條件的P點,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程看是否有解;
(3)利用差角的正切公式計算出∠OMB的正切,結(jié)合正切的定義求出OM,得出M坐標.

解答 解:(1)∵直線y=-2x-4交y軸于點A,交x軸于點B,∴A(0,-4),B(-2,0),
把A(0,-4),B(-2,0)代入拋物線方程得$\left\{\begin{array}{l}{c=-4}\\{2-2b+c=0}\end{array}\right.$,解得b=-1,c=-4.
∴拋物線的解析式是y=$\frac{1}{2}$x2-x-4.
(2)令y=$\frac{1}{2}$x2-x-4=0解得x=-2或x=4,∴C(4,0).
假設(shè)拋物線上存在點P使得A,B,C,P四點構(gòu)成平行四邊形,
①若BC是平行四邊形的對角線,則AP的中點為BC的中點(1,0).
設(shè)P(x,$\frac{1}{2}$x2-x-4),則$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}-x-4=4}\end{array}\right.$,方程組無解.
②若BC是平行四邊形的一邊,則AP∥BC,且AP=BC,
由圖象可知上述條件顯然不成立,
綜上,拋物線上不存在點P使得A,B,C,P四點構(gòu)成平行四邊形.
(3)∵tan∠ACB=$\frac{|OC|}{|OA|}$=1,tan∠OAB=$\frac{|OB|}{|OC|}$=$\frac{1}{2}$.∴tan∠OMB=$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$.
∵tan∠OMB=$\frac{|OB|}{|OM|}$=$\frac{2}{|OM|}$,∴|OM|=6.∴M(0,6)或M(0,-6).

點評 本題考查了待定系數(shù)法求解析式,平行四邊形的性質(zhì),三角函數(shù)計算,屬于中檔題.

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