Question

20．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c與直線y=-2x-4交y軸于點A，交x軸于點B，拋物線與x軸的另一個交點為C，O為坐標原點
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線上是否存在點P，使A，B，C，P四點構(gòu)成平行四邊形？存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由；（3）若點M在y軸上，且∠ACB=∠OAB+∠OMB，請求出M點坐標．

Answer 1

分析 （1）求出A，B坐標，代入拋物線方程解出b，c；
（2）假設(shè)存在符合條件的P點，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程看是否有解；
（3）利用差角的正切公式計算出∠OMB的正切，結(jié)合正切的定義求出OM，得出M坐標．

解答 解：（1）∵直線y=-2x-4交y軸于點A，交x軸于點B，∴A（0，-4），B（-2，0），
把A（0，-4），B（-2，0）代入拋物線方程得$\left\{\begin{array}{l}{c=-4}\\{2-2b+c=0}\end{array}\right.$，解得b=-1，c=-4．
∴拋物線的解析式是y=$\frac{1}{2}$x²-x-4．
（2）令y=$\frac{1}{2}$x²-x-4=0解得x=-2或x=4，∴C（4，0）．
假設(shè)拋物線上存在點P使得A，B，C，P四點構(gòu)成平行四邊形，
①若BC是平行四邊形的對角線，則AP的中點為BC的中點（1，0）．
設(shè)P（x，$\frac{1}{2}$x²-x-4），則$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}-x-4=4}\end{array}\right.$，方程組無解．
②若BC是平行四邊形的一邊，則AP∥BC，且AP=BC，
由圖象可知上述條件顯然不成立，
綜上，拋物線上不存在點P使得A，B，C，P四點構(gòu)成平行四邊形．
（3）∵tan∠ACB=$\frac{|OC|}{|OA|}$=1，tan∠OAB=$\frac{|OB|}{|OC|}$=$\frac{1}{2}$．∴tan∠OMB=$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$．
∵tan∠OMB=$\frac{|OB|}{|OM|}$=$\frac{2}{|OM|}$，∴|OM|=6．∴M（0，6）或M（0，-6）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)，三角函數(shù)計算，屬于中檔題．