Question

7．給出以下五個(gè)命題：
①一個(gè)底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2的圓錐的表面積為3π；
②設(shè)當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx-2cosx取得最大值，則cosθ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
③已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，若它的前n項(xiàng)和S_n有最小值，且$\frac{{{a_{11}}}}{{{a_{10}}}}$＜-1，則使S_n＞0成立的最小自然數(shù)為19；
④函數(shù)f（x）=|lgx|，若0＜m＜n，且f（m）=f（n），則m+2n的取值范圍為[2$\sqrt{2}$，+∞）；
⑤半圓的直徑AB=4，O為圓心，C是半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$的最小值是-2；
其中正確的命題有①②④（請(qǐng)將滿足題意的序號(hào)填寫在答題卷中的橫線上）．

Answer 1

分析 對(duì)5個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：①一個(gè)底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2的圓錐的表面積為π+$\frac{1}{2}×2π×2$=3π，正確；
②函數(shù)f（x）=sinx-2cosx=$\sqrt{5}$sin（x-α）（其中cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），
∵x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，∴sin（θ-α）=1，即sinθ-2cosθ=$\sqrt{5}$，
又sin²θ+cos²θ=1，聯(lián)立得（2cosθ+$\sqrt{5}$）²+cos²θ=1，解得cosθ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，正確；
③由已知得，a₁＜0，d＞0，a₁₀＜0，a₁₁＞0，∴a₁+a₁₉＜0，a₁₀+a₁₁＞0，∴a₁+a₂₀＞0，
∴S₁₉＜0，S₂₀＞0，故n=20，不正確；
④畫出y=|lgx|的圖象如圖：
∵0＜m＜n，且f（m）=f（n），
∴0＜m＜1，n＞1
∴-lgm=lgn，
∴mn=1，
即n=$\frac{1}{m}$，
∴m+2n=m+$\frac{2}{m}$．
∵函數(shù)g（m）=m+$\frac{2}{m}$在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴g（m）＞g（1）=1+2=3，
即m+2n＞3，則m+2n的取值范圍是（3，+∞），不正確；
⑤∵O為AB的中點(diǎn)，∴$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PO}$，
∴（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PC}$=-2|$\overrightarrow{PO}$||$\overrightarrow{PC}$|；
又|$\overrightarrow{PO}$|+|$\overrightarrow{PC}$|=2|$\overrightarrow{OC}$|=2為定值，
∴當(dāng)且僅當(dāng)|$\overrightarrow{PO}$|=|$\overrightarrow{PC}$|=1，即P為OC的中點(diǎn)時(shí)，（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$的最小值是-2，正確；
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷，考查學(xué)生分析解決問題的能力，知識(shí)綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．