Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，
AB=BC=PB=PC=2CD=2，側面PBC⊥底面ABCD，
（1）求證：PA⊥BD；
（2）求二面角B-AP-D的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）根據等腰三角形的性質及面面垂直的性質，可以得到PO⊥平面ABCD；判斷出Rt△ABO≌Rt△BCD，結合全等三角形性質，得到BD⊥AO，BD⊥PO，根據線面垂直的判定定理，得到BD⊥平面PAO，再由線面垂直的性質即可得到PA⊥BD；
（2）取PA中點F，連BF，DF，證明∠BFD為二面角B-AP-D的平面角．

解答： （1）證明：設O是BC的中點
因為PB=PC，O是BC的中點，
所以PO⊥BC，
又側面PBC⊥底面ABCD，PO?平面PBC，
面PBC∩底面ABCD=BC，
所以PO⊥平面ABCD
因為BD?平面ABCD，所以PO⊥BD，
在Rt△ABO和Rt△BCD中，
AB=BC=2，BO=CD=1，∠ABO=∠BCD=90°，
所以Rt△ABO≌Rt△BCD，故∠BA0=∠CBD，
即∠BA0+∠DBA=∠CBD+∠DBA=90°，
所以BD⊥AO，又AO∩PO=O，
所以BD⊥平面PAO，故PA⊥BD；
（2）解：取PA中點F，連BF，DF，
因為BA=BP=2，所以BF⊥PA，可求得PD=AD=

5

，則DF⊥PA，
所以∠BFD為二面角B-AP-D的平面角．
又求得BF=

2

，DF=

3

，BD=

5

，則∠BFD=90°．
所以二面角B-AP-D的大小為90°．

點評：本題考查線面垂直，考查二面角的平面角及求法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．