Question

5．已知△ABC的三邊a，b，c所對的角分別為A，B，C且sinA：sinB：sinC=2：3：4．若△ABC的面積為12$\sqrt{15}$，則△ABC的外接圓的半徑R=$\frac{32\sqrt{15}}{15}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，可以設(shè)a=2t，b=3t，c=4t，由余弦定理可得cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{4}$，進(jìn)而可得sinC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，由正弦定理可得關(guān)系式$\frac{1}{2}$absinC=12$\sqrt{15}$，代入數(shù)據(jù)解可得t=4，可得c的值，由正弦定理2R=$\frac{c}{sinC}$可得R的值．

解答 解：根據(jù)題意，由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，而sinA：sinB：sinC=2：3：4，
可以設(shè)a=2t，b=3t，c=4t，
則cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{4}$，則sinC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
又由△ABC的面積為12$\sqrt{15}$，
則有$\frac{1}{2}$absinC=12$\sqrt{15}$，即$\frac{1}{2}$×2t×3t×$\frac{\sqrt{15}}{4}$=12$\sqrt{15}$，
解可得t=4，
則c=4t=16；
又由2R=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{16}{\frac{\sqrt{15}}{4}}$，解可得R=$\frac{32\sqrt{15}}{15}$；
故答案為：$\frac{32\sqrt{15}}{15}$．

點(diǎn)評 本題考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是依據(jù)題意結(jié)合正弦定理找到三邊與外接圓的半徑R的關(guān)系．