Question

8．已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)右焦點(diǎn)F₂作x軸的垂線，交橢圓于A，B兩點(diǎn)．若等邊△ABF₁的周長(zhǎng)為$4\sqrt{3}$，則橢圓的方程為（　　）

• A． $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$
• B． $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{6}=1$
• C． $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$
• D． $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$

Answer 1

分析 求出等邊三角形的邊長(zhǎng)，運(yùn)用橢圓的定義，可得2a=2$\sqrt{3}$，再由等邊三角形的高可得c=1，再由a，b，c的關(guān)系可得b，進(jìn)而得到橢圓方程．

解答 解：由題意可得等邊△ABF₁的邊長(zhǎng)為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
則AB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
由橢圓的定義可得2a=AF₁+AF₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，
即為a=$\sqrt{3}$，
由F₁F₂=2c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=2，
即有c=1，
則b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的定義和等邊三角形的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．