Question

2．數列{b_n}滿足b_n=6b_n-1+2ⁿ⁺¹（n≥2，n∈N^*），b₁=4．
（1）證明數列{$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$+1}是等比數列，并求數列{b_n}的通項公式；
（2）求數列{b_n}的前n項的和．

Answer 1

分析 （1）將等式兩邊除以2ⁿ，再加1，運用等比數列的定義和通項公式，計算即可得到所求通項；
（2）運用數列的求和方法：分組求和，結合等比數列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）證明：b_n=6b_n-1+2ⁿ⁺¹，
即為$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$+1=$\frac{3_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+3=3（$\frac{_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1），
則數列{$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$+1}是首項為3，公比為3的等比數列，
即有$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$+1=3ⁿ，
即b_n=2ⁿ（3ⁿ-1）=6ⁿ-2ⁿ；
（2）數列{b_n}的前n項的和為S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（6+6²+6³+…+6ⁿ）-（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=$\frac{6（1-{6}^{n}）}{1-6}$-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=$\frac{6}{5}$•6ⁿ-2ⁿ⁺¹+$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查數列的通項的求法，注意運用構造數列法，考查等比數列的通項公式和求和公式的運用，以及數列的求和方法：分組求和，屬于中檔題．