Question

10．函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點(diǎn)，B，C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且△ABC為正三角形．
（Ⅰ）指出函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅲ）若f（x₀）=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，且x₀∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$），求f（x₀+6）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數(shù)的解析式求得函數(shù)的值域．
（Ⅱ）根據(jù)等邊三角形 ABC的邊長(zhǎng)為半個(gè)周期，求得ω的值，可得函數(shù)的解析式．
（Ⅲ）由f（x₀）=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，求得sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$．再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式求得f（x₀+6）的值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），可得函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．
（Ⅱ）由題意可得等邊三角形 ABC的邊長(zhǎng)為$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$=4，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=4，求得ω=$\frac{π}{4}$，∴f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{3}$）．
（Ⅲ）若f（x₀）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，則sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$．
f（x₀+6）=2$\sqrt{3}$sin[$\frac{π}{4}$（x₀+6）x+$\frac{π}{3}$]=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{3π}{2}$+$\frac{π}{3}$）=-cos（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）．
∵x₀∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$），∴$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴cos（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（\frac{π}{4}{•x}_{0}+\frac{π}{3}）}$=$\frac{3}{5}$，
∴f（x₀+6）=-$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的值域，正弦函數(shù)的周期性，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題．