Question

3．實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x-y≥0}\\{2x-y-2≥0}\end{array}\right.$，求z=$\frac{y+x}{x+1}$的取值范圍．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域z=$\frac{y+x}{x+1}$=$\frac{y-1+x+1}{x+1}$=1+$\frac{y-1}{x+1}$，設(shè)k=$\frac{y-1}{x+1}$，利用k的幾何意義進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，
由z=$\frac{y+x}{x+1}$=$\frac{y-1+x+1}{x+1}$=1+$\frac{y-1}{x+1}$，
設(shè)k=$\frac{y-1}{x+1}$，則k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)D（-1，1）的斜率，
由圖象知DA的斜率最小，此時(shí)A（1，0），此時(shí)k=$\frac{0-1}{1+1}$=$-\frac{1}{2}$，
當(dāng)過D的直線和BC：y=x平行時(shí)，此時(shí)k=1，
即$-\frac{1}{2}$≤k＜1，
則1$-\frac{1}{2}$≤k+1＜1+1，
即$\frac{1}{2}$≤z＜2，
即z=$\frac{y+x}{x+1}$的取值范圍是$\frac{1}{2}$≤z＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)條件結(jié)合分式不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用直線斜率的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．