Question

13．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C　對應(yīng)的邊分別為a，b，c向量$\overrightarrow{m}$=（$\frac{a}{sin（A+B）}$，c-2b），$\overrightarrow{n}$=（sin2C，1）滿足|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|
（1）求A大��；
（2）若a=1，求△ABC的周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量的平方即為模的平方可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角公式、余弦定理，即可得到角A；
（2）可令B=$\frac{π}{3}$+α，C=$\frac{π}{3}$-α，-$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{3}$，運(yùn)用正弦定理，結(jié)合兩角和差的正弦公式，化簡計(jì)算，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到所求周長的范圍．

解答 解：（1）由|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|可得
（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）²=（$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）²，
${\overrightarrow{m}}^{2}$+2$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{n}$²=${\overrightarrow{m}}^{2}$-2$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{n}$²，
即有$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，
由向量$\overrightarrow{m}$=（$\frac{a}{sin（A+B）}$，c-2b），$\overrightarrow{n}$=（sin2C，1），
則$\frac{a}{sin（A+B）}$•sin2C+c-2b=0，
即$\frac{a}{sinC}$•2sinC•cosC+c-2b=0，
2a•$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+c-2b=0，
b²+c²-a²=bc，
即有cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
則A=$\frac{π}{3}$；
（2）B+C=π-A=$\frac{2π}{3}$，
可令B=$\frac{π}{3}$+α，C=$\frac{π}{3}$-α，-$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{3}$，
由$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{1}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即有b+c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC）
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（sin（$\frac{π}{3}$+α）+sin（$\frac{π}{3}$-α））=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin$\frac{π}{3}$cosα
=2cosα∈（1，2]，
則△ABC的周長的取值范圍是（2，3]．

點(diǎn)評 本題考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，二倍角公式和兩角和差的正弦公式及余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．