Question

13．已知線段PD垂直于正方形ABCD所在平面，D為垂足，|PD|=5cm，|AB|=8cm，連接PA、PB、PC．
（1）求證：平面PBC⊥平面PDC；
（2）求PB與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）證明PD⊥BC，BC⊥CD，可得BC⊥平面PDC，即可證明平面PBC⊥平面PDC；
（2）確定∠PBD是PB與平面ABCD所成角，即可求PB與平面ABCD所成角的正切值．

解答 證明：（1）因為PD⊥面ABCD，所以PD⊥BC．
因為ABCD是正方形，所以BC⊥CD，
因為PD∩CD=D
所以BC⊥平面PDC，
又BC⊆平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDC．…（3分）
（2）因為PD⊥面ABCD，所以BD為PB在面ABCD內(nèi)射影，
即∠PBD是PB與平面ABCD所成角．…（5分）
在Rt△PDB中，|PD|=5cm，$|{BD}|=8\sqrt{2}$cm，所以tan∠PBD=$\frac{{|{PD}|}}{{|{BD}|}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{16}$．…（7分）

點評 本題考查線面垂直，平面與平面垂直，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．