Question

8．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=\;1$（a＞0，b＞0）的右焦點為F，過F且斜率為$\sqrt{3}$的直線交C于A，B兩點，若$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，則C的離心率為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)|AF|=3m，|BF|=m．過A，B分別做準線的垂線，垂足為A₁，B₁．由雙曲線定義得可分別表示出|AA₁|和|BB₁|，過B做BD垂直于AA₁垂足D．根據(jù)直線的斜率可知∠ABD=30°，進而求得|AD|和|AB|的關(guān)系求得e．

解答 解：由$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，
設(shè)|AF|=3m，|BF|=m，
過A，B分別做準線的垂線，垂足為A₁，B₁．
由雙曲線定義得，
|AA₁|=$\frac{3m}{e}$，|BB₁|=$\frac{m}{e}$，
過B做BD垂直于AA₁垂足D．
在△ABD中，∠ABD=30°，
|AD|=$\frac{1}{2}$|AB|．即$\frac{2m}{e}$=$\frac{1}{2}$•3m．
解得e=$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點評 本題主要考查了直線與雙曲線的綜合問題．考查了向量共線定理的運用，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力．