Question

2．已知二次函數(shù)f（x）圖象過點(diǎn)（0，6），它的圖象的對稱軸為x=3，且f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)的平方和為12，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 先設(shè)出二次函數(shù)的表達(dá)式，根據(jù)圖象過（0，6），求出c的值，結(jié)合函數(shù)的對稱軸得到a，b的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，得到方程組，從而求出函數(shù)的解析式．

解答 解：設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
∵f（x）圖象過點(diǎn)（0，6），∴c=6．
又f（x）的對稱軸為x=3，
∴-$\frac{2a}$=3，即b=-6a，
∴f（x）=ax²-6ax+6（a≠0）．
設(shè)方程ax²-6ax+6=0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)根為x₁、x₂，
則x₁+x₂=6，${x_1}{x_2}=\frac{6}{a}$，又x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=12，
∴x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=$36-\frac{12}{a}$，
∴36-$\frac{12}{a}$=12，得a=$\frac{1}{2}$，b=-3，
∴$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-3x+6$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，本題屬于中檔題．