Question

13．在Rt△ABC中，已知點(diǎn)A（3，1）和直角∠B的平分線方程y=2x．
（1）求點(diǎn)A關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)B在第一象限，且△ABC面積等于10，求直線AC的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出M的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及兩垂直直線的斜率的關(guān)系得到方程組，解出即可；
（2）設(shè)出B的坐標(biāo)，根據(jù)直線y=2x和直線AB的夾角是45°，結(jié)合兩角和的正切公式求出B的坐標(biāo)即可；
（3）設(shè)出C的坐標(biāo)，根據(jù)|BC|的長(zhǎng)是2$\sqrt{10}$，以及直線K_AB•K_BC=-1，從而求出C點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）設(shè)M（a，b），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-1}{a-3}=-\frac{1}{2}}\\{\frac{a+3}{2}•2=\frac{b+1}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{11}{3}$，b=-$\frac{7}{3}$，
即M（-$\frac{11}{3}$，-$\frac{7}{3}$）；
（2）由題意得B點(diǎn)在直線y=2x上，
設(shè)B（m，2m），
∴直線AB的斜率是：K_AB=$\frac{2m-1}{m-3}$，
∴tan（arctan2+$\frac{π}{4}$）=$\frac{2m-1}{m-3}$或tan（arctan2-$\frac{π}{4}$）=$\frac{2m-1}{m-3}$，
解得：B（2，4）或（0，0），
（3）由（2）得：B（2，4），
設(shè)BC的距離是h，則$\frac{1}{2}$•$\sqrt{10}$•h=10，解得：h=2$\sqrt{10}$，
設(shè)C（x，y），則$\frac{4-y}{2-x}•\frac{4-1}{3-2}$=-1，得：x-3y+10=0①，
又|BC|=$\sqrt{{（x-2）}^{2}{+（y-4）}^{2}}$=2$\sqrt{10}$②，
由①②得：C（6，8）或（2，-4），
故過A（3，1），C（6，8）的直線為：
7x-3y-18=0，
過A（3，1），C（2，-4）的直線為：
5x-y-14=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式，考查直線斜率的求法以及求直線方程問題，是一道中檔題．