Question

13．設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意的x₁，x₂∈D，當(dāng)x₁+x₂=2a時(shí)，恒有f（x₁）+f（x₂）=2b，則稱點(diǎn)（a，b）為函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱中心．研究函數(shù)f（x）=x+sinπx-3的某個(gè)對(duì)稱中心，并利用對(duì)稱中心的上述定義，可求得f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）$+f（\frac{3}{2015}$）+…+f（$\frac{4028}{2015}$）+f（$\frac{4029}{2015}$）的值為-8058．

Answer 1

分析 由已知得f（x）=x+sinπx-3的一個(gè)對(duì)稱中心為（1，-2），由此能求出f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+f（$\frac{3}{2015}$）+…+f（$\frac{4028}{2015}$）+f（$\frac{4029}{2015}$）的值．

解答 解：在f（x）=x+sinπx-3中，
若x₁+x₂=2，
則f（x₁）+f（x₂）=（x₁+x₂）+sin（x₁π）+sin（x₂π）-6
=2+sin（x₁π）+sin（2π-x₁π）-6
=-4，
∴f（x）=x+sinπx-3的一個(gè)對(duì)稱中心為（1，-2），
∴f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+f（$\frac{3}{2015}$）+…+f（$\frac{4028}{2015}$）+f（$\frac{4029}{2015}$）
=2014×（-4）+f（$\frac{2015}{2015}$）
=-8056+（1+sinπ-3）
=-8058．
故答案為：-8058．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正弦函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．