Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（2，1），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過點B（3，0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用題干中的兩個條件，和橢圓本身的性質(zhì)，得$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}.\end{array}\right.$，然后求解，代入即可；
（2）由題干“過點B（3，0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點．設(shè)直線l的方程為y=k（x-3），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-3）\\ \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0，設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
然后利用根與系數(shù)的關(guān)系，代換出$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BN}=（{x_1}-3）（{x_2}-3）+{y_1}{y_2}$=$\frac{{3+3{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，注意：k的范圍．

解答 （1）$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$；（2）（2，3]．
解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}.\end{array}\right.$，解得$a=\sqrt{6}$，$b=\sqrt{3}$．
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）由題意顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-3），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-3）\\ \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0．
∵直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，
∴△=144k⁴-4（1+2k²）（18k²-6）=24（1-k²）＞0，解得-1＜k＜1．
設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=\frac{{12{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{18{k^2}-6}}{{1+2{k^2}}}$，
y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）．
$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BN}=（{x_1}-3）（{x_2}-3）+{y_1}{y_2}$=（1+k²）[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]
=$\frac{{3+3{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$=$\frac{3}{2}+\frac{3}{{2（1+2{k^2}）}}$．
∵-1＜k＜1，
∴$2＜\frac{3}{2}+\frac{3}{{2（1+2{k^2}）}}≤3$，
∴$\overrightarrow{BM}•\;\overrightarrow{BN}$的范圍為（2，3]．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓定義，轉(zhuǎn)化與化歸思想，舍而不求思想的運(yùn)用．