Question

3．某環(huán)境保護部門對某處的環(huán)境狀況用“污染指數(shù)”來監(jiān)測，據(jù)監(jiān)測，該處的“污染指數(shù)”與附近污染源的強度成正比，且與距離成反比，比例系數(shù)分別為常數(shù)k₁、k₂（k₁＞0，k₂＞0），現(xiàn)已知相距36km的A、B兩家化工廠（污染源）的污染強度分別為1和25，它們連線段上任意一點C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對該處的“污染指數(shù)”之和，設(shè)AC=x（km）．
（1）試將y表示為x的函數(shù)，并指出定義域；
（2）確定A、B連線段上何處的“污染指數(shù)”最小，并求出這個最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意，分別求A，B兩家化工廠對C處的污染指數(shù)，再求和即可得y=k₁k₂（$\frac{1}{x}$+$\frac{25}{36-x}$）；再求定義域即可；
（2）令f（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{25}{36-x}$，再求導(dǎo)并化簡得f′（x）=$\frac{24（x+9）（x-6）}{{x}^{2}（36-x）^{2}}$；從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及最小值，從而得到y(tǒng)=k₁k₂（$\frac{1}{x}$+$\frac{25}{36-x}$）的最小值及最小值點．

解答 解：（1）由題意，
A家化工廠對C處的污染指數(shù)為k₁$\frac{{k}_{2}}{x}$，
B家化工廠對C處的污染指數(shù)為25k₁$\frac{{k}_{2}}{36-x}$；
故y=k₁$\frac{{k}_{2}}{x}$+25k₁$\frac{{k}_{2}}{36-x}$=k₁k₂（$\frac{1}{x}$+$\frac{25}{36-x}$）；其定義域為（0，36）；
（2）令f（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{25}{36-x}$，
則f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{25}{（36-x）^{2}}$
=$\frac{24{x}^{2}+72x-3{6}^{2}}{{x}^{2}（36-x）^{2}}$
=$\frac{24（x+9）（x-6）}{{x}^{2}（36-x）^{2}}$；
故f（x）在（0，6）上是減函數(shù)，在（6，36）上是增函數(shù)，
故f（x）_min=$\frac{1}{6}$+$\frac{25}{36-6}$=1；
故當(dāng)x=6時，y有最小值k₁k₂．

點評 本題考查了函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，同時考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．