Question

10．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三角形ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別為A₁B₁、AB的中點(diǎn)．
（1）求證：平面A₁NC∥平面BMC₁；（2）求異面直線A₁C與C₁N所成角的余弦值；
（3）求直線A₁N與平面ACC₁A₁所成角的正弦．

Answer 1

分析 （1）容易證明BM∥A₁N，C₁M∥CN，從而根據(jù)線面平行及面面平行的判定定理可得出平面A₁NC∥平面BMC₁；
（2）可分別以CA，CB，CC₁三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，從而可求出圖形上一些點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出向量$\overrightarrow{{A}_{1}C}，\overrightarrow{{C}_{1}N}$的坐標(biāo)，根據(jù)cos$＜\overrightarrow{{A}_{1}C}，\overrightarrow{{C}_{1}N}＞$=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{{C}_{1}N}}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}||\overrightarrow{{C}_{1}N}|}$便可得出異面直線A₁C與C₁N所成角的余弦值；
（3）可以說明向量$\overrightarrow{BC}$為平面ACC₁A₁的一條法向量，設(shè)直線A₁N與平面ACC₁A₁所成角為θ，從而根據(jù)$sinθ=|cos＜\overrightarrow{{A}_{1}N}，\overrightarrow{BC}＞|$便可求出直線A₁N與平面ACC₁A₁所成角的正弦．

解答 解：（1）證明：根據(jù)條件知，四邊形A₁NBM為平行四邊形；
∴BM∥A₁N，A₁N?平面A₁NC，BM?平面A₁NC；
∴BM∥平面A₁NC；
連接MN，同理可證C₁M∥平面A₁NC；
又BM∩C₁M=M；
∴平面BMC₁∥平面A₁NC，即平面A₁NC∥平面BMC₁；
（2）根據(jù)條件可知CA，CB，CC₁三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：
C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），N（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$），A₁（1，0，2），C₁（0，0，2）；
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}=（-1，0，-2），\overrightarrow{{C}_{1}N}=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，-2）$；
∴$cos＜\overrightarrow{{A}_{1}C}，\overrightarrow{{C}_{1}N}＞=\frac{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{{C}_{1}N}}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}||\overrightarrow{{C}_{1}N}|}$=$\frac{\frac{7}{2}}{\sqrt{5}•\sqrt{\frac{9}{2}}}=\frac{7\sqrt{10}}{30}$；
∴異面直線A₁C與C₁N所成角的余弦值為$\frac{7\sqrt{10}}{30}$；
（3）BC⊥AC，BC⊥CC₁，AC∩CC₁=C；
∴BC⊥平面ACC₁A₁；
∴$\overrightarrow{BC}=（0，-1，0）$為平面ACC₁A₁的一條法向量；
又$\overrightarrow{{A}_{1}N}=（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，-2）$；
設(shè)直線A₁N與平面ACC₁A₁所成角為θ，則：
sinθ=$|cos＜\overrightarrow{{A}_{1}N}，\overrightarrow{BC}＞|$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{9}{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{6}$；
∴直線A₁N與平面ACC₁A₁所成角的正弦為$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

點(diǎn)評 考查平行四邊形的概念，線面平行和面面平行的判定定理，以及通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決異面直線所成角及線面角問題的方法，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，平面法向量的概念，要清楚直線和平面所成角和直線的方向向量與平面法向量夾角的關(guān)系．