Question

14．設(shè)f（x）=${e}^{\frac{1}{2}x}$（x-1）-ax+2a恰有小于1兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)可得a=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}x}（x-1）}{（x-2）}$，從而令g（x）=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}x}（x-1）}{（x-2）}$，求導(dǎo)g′（x）=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}}x}{2（x-2）^{2}}$•x•（x-3），從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值，從而解得．

解答 解：令f（x）=${e}^{\frac{1}{2}x}$（x-1）-ax+2a=0，
即${e}^{\frac{1}{2}x}$（x-1）=a（x-2），
可知x=2不是方程的解，
故a=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}x}（x-1）}{（x-2）}$，
令g（x）=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}x}（x-1）}{（x-2）}$，
則g′（x）=$\frac{（\frac{1}{2}{e}^{\frac{1}{2}x}（x-1）+{e}^{\frac{1}{2}x}）（x-2）-{e}^{\frac{1}{2}x}（x-1）}{（x-2）^{2}}$
=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}}x}{2（x-2）^{2}}$•x•（x-3），
故g（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，在（0，2）上是減函數(shù)，
在（2，3）上是減函數(shù)，在（3，+∞）上是增函數(shù)，
$\underset{lim}{x→-∞}$$\frac{{e}^{\frac{1}{2}x}（x-1）}{（x-2）}$=0，g（0）=$\frac{1}{2}$，g（1）=0，
故0＜a＜$\frac{1}{2}$，
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用．