Question

15．已知F₁、F₂是雙曲線的兩焦點(diǎn)，過F₂且垂直于實(shí)軸的直線交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)，∠PF₁Q=60°，則離心率e=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，△PQF₁是等腰直角三角形，且被F₁F₂分成兩個全等的直角三角形．由此結(jié)合雙曲線的定義，可解出a、c關(guān)系，即可得到該雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)雙曲線方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），把x=c代入得y=±$\frac{b^2}{a}$．
∵∠PF₁Q=60°，
∴2c=$\sqrt{3}$•$\frac{b^2}{a}$，即2ac=$\sqrt{3}$（c²-a²），
解得e=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題給出雙曲線方程，在已知過右焦點(diǎn)的通徑和左焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形的情況下求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．