Question

2．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點D是AB的中點．
（1）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（2）在棱CC₁上是否存在點E，使AE⊥A₁B？若存在，求出EC的長度；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BC₁，CB₁，BC₁∩CB₁=O，連結(jié)OD，則OD∥AC₁，由此能證明AC₁∥平面CDB₁．
（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出在棱CC₁上存在點E，使AE⊥A₁B，此時EC=$\frac{9}{4}$．

解答 證明：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，連結(jié)BC₁，CB₁，BC₁∩CB₁=O，
∵BCC₁B₁是矩形，∴O是C₁B的中點，
連結(jié)OD，∵點D是AB的中點，∴OD∥AC₁，
∵AC₁?平面CDB₁，OD?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
解：（2）∵AC=3，BC=4，AB=5，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），A₁（3，0，4），
假設(shè)在棱CC₁上存在點E（0，0，t），0≤t≤4，使AE⊥A₁B，
則$\overrightarrow{AE}$=（-3，0，t），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-3，4，-4），
$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{A}_{1}B}$=9-4t=0，解得t=$\frac{9}{4}$，
∴在棱CC₁上存在點E，使AE⊥A₁B，此時EC=$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查滿足線線垂直的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．