Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ），（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）的最小正周期為π，且f（$\frac{π}{6}$）=1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位長度，再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立方程關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系求出函數(shù)g（x）的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)的周期是π，
∴$\frac{2π}{ω}=π$，得ω=2，
則f（x）=cos（2x+φ），
∵f（$\frac{π}{6}$）=1，
∴f（$\frac{π}{6}$）=cos（2×$\frac{π}{6}$+φ）=1，
即$\frac{π}{3}$+φ=2kπ，
即φ=2kπ-$\frac{π}{3}$，
∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜0，
∴φ=-$\frac{π}{3}$
則函數(shù)f（x）的解析式f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）；
（2）依題意，2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ（k∈Z），
∴kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），
∴y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）．
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位長度，得到y(tǒng)=cos[2（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=cos（2x+$\frac{π}{3}$）；
再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）=cos（x+$\frac{π}{3}$），
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，π]，
∴-1≤g（x）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即函數(shù)g（x）的值域為[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．