7.雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的右焦點為F,右準線與一條漸近線交于A.
(1)若直線FA以與斜率為正的漸近線交于B點,且線段AB被左準線平分,求離心率e;
(2)若直線FA與雙曲線的左、右支都相交,求離心率e的取值范圍.

分析 (1)分別求出A,B的坐標,利用線段AB被左準線平分,確定a,b的關(guān)系,即可求離心率e;
(2)若直線FA與雙曲線的左、右支都相交,則$\frac{a}$<$\frac{a}$,利用e2=1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$>2,求離心率e的取值范圍.

解答 解:(1)由$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}}{c}}\\{y=-\frac{a}x}\end{array}\right.$,可得A($\frac{{a}^{2}}{c}$,-$\frac{ab}{c}$),
∴直線FA的方程為y=$\frac{a}$(x-c),
與y=$\frac{a}$x聯(lián)立,可得B($\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-^{2}}$,$\frac{abc}{{a}^{2}-^{2}}$),
∵線段AB被左準線平分,
∴-$\frac{2{a}^{2}}{c}$=$\frac{{a}^{2}}{c}$+$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-^{2}}$,
∴b=$\sqrt{2}$a,
∴c=$\sqrt{3}$a,
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$;
(2)∵直線FA與雙曲線的左、右支都相交,
∴$\frac{a}$<$\frac{a}$,
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$>1,
∴e2=1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$>2,
∴e>$\sqrt{2}$.

點評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì),考查離心率的計算,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

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