Question

7．雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線(xiàn)與一條漸近線(xiàn)交于A．
（1）若直線(xiàn)FA以與斜率為正的漸近線(xiàn)交于B點(diǎn)，且線(xiàn)段AB被左準(zhǔn)線(xiàn)平分，求離心率e；
（2）若直線(xiàn)FA與雙曲線(xiàn)的左、右支都相交，求離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別求出A，B的坐標(biāo)，利用線(xiàn)段AB被左準(zhǔn)線(xiàn)平分，確定a，b的關(guān)系，即可求離心率e；
（2）若直線(xiàn)FA與雙曲線(xiàn)的左、右支都相交，則$\frac{a}$＜$\frac{a}$，利用e²=1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$＞2，求離心率e的取值范圍．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}}{c}}\\{y=-\frac{a}x}\end{array}\right.$，可得A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{ab}{c}$），
∴直線(xiàn)FA的方程為y=$\frac{a}$（x-c），
與y=$\frac{a}$x聯(lián)立，可得B（$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-^{2}}$，$\frac{abc}{{a}^{2}-^{2}}$），
∵線(xiàn)段AB被左準(zhǔn)線(xiàn)平分，
∴-$\frac{2{a}^{2}}{c}$=$\frac{{a}^{2}}{c}$+$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-^{2}}$，
∴b=$\sqrt{2}$a，
∴c=$\sqrt{3}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$；
（2）∵直線(xiàn)FA與雙曲線(xiàn)的左、右支都相交，
∴$\frac{a}$＜$\frac{a}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$＞1，
∴e²=1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$＞2，
∴e＞$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的方程與性質(zhì)，考查離心率的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．