Question

15．已知命題p：“?x＞-1，a≤x+$\frac{1}{x+1}$恒成立”；，命題q：“函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+2ax+1在R上存在極大值和極小值”，若命題“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時的a的范圍，根據(jù)命題“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，得到p，q一真一假，從而求出a的范圍即可．

解答 解；關(guān)于命題p：“?x＞-1，a≤x+$\frac{1}{x+1}$恒成立”，
令g（x）=x+$\frac{1}{x+1}$=x+1+$\frac{1}{x+1}$-1≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時“=”成立，
∴a≤1；
關(guān)于命題q：“函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+2ax+1在R上存在極大值和極小值”，
即f′（x）=x²+2ax+2a與x軸有2個交點，
∴△=4a²-8a＞0，解得：a＞2或a＜0，
若命題“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，
則p，q一真一假，
p真q假時：$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{0≤a≤2}\end{array}\right.$，解得：0≤a≤1，
p假q真時：$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＞2或a＜0}\end{array}\right.$，解得：a＞2，
綜上，a∈[0，1]∪（2，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查復(fù)合命題的判斷，是一道中檔題．