Question

11．若不等式x²+（a-3）x+1≥0對一切x∈$（{0，\frac{1}{2}}]$都成立，則a的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 不等式x²+（a-3）x+1≥0對一切x∈$（{0，\frac{1}{2}}]$成立?a-3≥（-x-$\frac{1}{x}$）_max，x∈$（{0，\frac{1}{2}}]$．令f（x）=-x-$\frac{1}{x}$，x∈$（{0，\frac{1}{2}}]$，利用導數(shù)研究其單調性極值與最值即可得出．

解答 解：不等式x²+（a-3）x+1≥0對一切x∈$（{0，\frac{1}{2}}]$成立?a-3≥（-x-$\frac{1}{x}$）_max，x∈$（{0，\frac{1}{2}}]$．
令f（x）=-x-$\frac{1}{x}$，x∈$（{0，\frac{1}{2}}]$，f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{{x}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)f（x）在x∈（0，$\frac{1}{2}$]上單調遞增，
∴當x=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值，f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{2}$．
∴a的最小值為$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究其單調性極值與最值、恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．