Question

1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知sinA=2sinC-$\sqrt{3}$sinB，且ab=12，則△ABC的面積的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 由正弦定理化簡已知可得a=2c-$\sqrt{3}$b，由ab=12，解得c²=$\frac{{a}^{2}+3^{2}+2\sqrt{3}ab}{4}$，由余弦定理可得：cosC≥-$\frac{11\sqrt{3}}{48}$，由C∈（0，π），可得當(dāng)cosC=0，即：C=$\frac{π}{2}$時，可求S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=6sinC取最大值為6．

解答 解：∵sinA=2sinC-$\sqrt{3}$sinB，又由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
∴a=2c-$\sqrt{3}$b，解得：c=$\frac{a+\sqrt{3}b}{2}$，c²=$\frac{{a}^{2}+3^{2}+2\sqrt{3}ab}{4}$，
∵ab=12，
∴由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$
=$\frac{{a}^{2}+^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{3^{2}}{4}-6\sqrt{3}}{24}$
=$\frac{1}{96}$（3a²+b²）-$\frac{1}{4}$$\sqrt{3}$≥$\frac{1}{96}$×$2\sqrt{3}$-$\frac{1}{4}$$\sqrt{3}$=-$\frac{11\sqrt{3}}{48}$，
∵C∈（0，π），
∴當(dāng)cosC=0，即：C=$\frac{π}{2}$時，sinC=1，S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=6sinC取最大值為6．
故選：C．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式的綜合應(yīng)用，考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．